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第1章 引论1

1.1摄动理论溯源1

1.1.1常微分方程发展历程的简要回顾1

1.1.2摄动方法及理论的起源与发展2

1.2正则摄动与奇异摄动3

1.3渐近序列与渐近级数5

1.3.1渐近序列5

1.3.2渐近展开式5

1.3.3渐近级数6

1.3.4渐近与收敛6

1.4无量纲化7

参考文献9

第2章 经典摄动方法简介11

2.1变形坐标法11

2.1.1变形坐标法的基本思想11

2.1.2 Lindstedt-Poincar？方法（L-P方法）12

2.1.3 Lighthill技巧14

2.1.4重正化方法17

2.1.5 Temple技巧19

2.1.6变形坐标法的适用性20

2.2平均法20

2.2.1 KB平均法20

2.2.2一种推广的平均法——KBM方法25

2.3匹配展开法26

2.3.1匹配展开法的基本思想26

2.3.2 Prandtl匹配原则28

2.3.3边界层位置的确定29

2.3.4 van Dyke匹配原理31

2.3.5几点说明33

2.4合成展开法35

2.4.1合成展开法的基本思想35

2.4.2例36

2.5 WKB近似法37

2.5.1最简单的三类二阶常微分方程38

2.5.2 Liouville-Green变换38

2.5.3 WKB近似39

2.5.4转向点40

2.6多重尺度法40

2.6.1多重尺度法的基本思想40

2.6.2两变量展开法43

2.6.3推广的多重尺度法44

2.7奇异摄动理论和方法的一些发展动向48

参考文献52

第3章 吉洪诺夫定理和边界层函数法57

3.1引论57

3.2吉洪诺夫定理58

3.3初值问题形式渐近解的构造方法59

3.4初值问题的瓦西里耶娃定理66

3.4.1定理的叙述66

3.4.2微分和积分方程组的向量-矩阵形式记法67

3.4.3边界层函数的估计68

3.4.4定理3.4.1的证明75

3.4.5引理3.4.2的证明82

3.5奇异摄动边值问题83

3.5.1双边界层问题83

3.5.2分块矩阵及其运算84

3.5.3条件稳定，不变流形S+和S-85

3.5.4边值问题的提法93

3.5.5构造渐近展开式的算法95

3.5.6基本定理的叙述100

3.5.7边界函数的估计101

3.5.8余项方程101

3.6一般奇异摄动边值问题104

参考文献116

第4章 微分不等式理论和方法117

4.1 Nagumo定理及其推广形式117

4.1.1纯量问题117

4.1.2向量问题119

4.2二阶常微分方程121

4.3高阶微分方程124

4.4偏微分方程129

参考文献134

第5章 奇异奇摄动问题137

5.1临界情况下的奇摄动初值问题137

5.1.1定义、假设和辅助结果137

5.1.2初值问题解的渐近构造146

5.1.3定理的陈述和余项估计150

5.2奇异奇摄动边值问题153

5.2.1引论153

5.2.2假设和形式级数的渐近展开154

5.2.3存在唯一性结果158

5.2.4 拟线性奇摄动方程组边值问题159

5.2.5例子161

参考文献162

第6章 快-慢系统的慢流形和鸭解问题164

6.1快-慢系统的慢流形164

6.1.1引言164

6.1.2慢流形定理166

6.1.3慢流形的渐近近似167

6.2鸭解问题及其研究概况169

6.3平面系统中的鸭解问题170

6.3.1临界流形为通有折情形171

6.3.2 临界流形为相交曲线情形173

6.4高维系统中的鸭解问题175

6.4.1具有一个快变量的三维奇摄动系统175

6.4.2一个表面氧化模型中的鸭现象176

6.4.3高维奇异摄动系统的鸭流形179

参考文献180

第7章 转向点问题183

7.1转向点理论的产生与发展183

7.2 WKB方法185

7.3 Langer变换188

7.4线性方程的转向点问题与A-O共振191

7.5非线性方程的转向点问题196

参考文献199

第8章 偏微分方程奇异摄动问题202

8.1椭圆型方程奇异摄动问题202

8.2奇异摄动问题的内层解205

8.3两参数奇异摄动问题207

8.4高阶方程奇异摄动问题211

8.5长期型奇异摄动问题213

8.6反应扩散方程奇异摄动问题的广义解215

参考文献218

第9章 奇异摄动的应用220

9.1两个自由度的陀螺系统220

9.1.1两个自由度的陀螺系统220

9.1.2消除长期项222

9.2薄板弯曲问题的匹配解223

9.2.1薄板弯曲的挠度模型及其外部解223

9.2.2环形薄板模型的内层解224

9.2.3零次内层解及其与外部解匹配225

9.2.4一次内层解及其与外部解匹配227

9.2.5解的合成展开式229

9.3非线性捕食-被捕食系统230

9.3.1捕食-被捕食系统230

9.3.2构造形式解231

9.3.3一致有效性234

9.4大气等离子体反应扩散模型237

9.4.1等离子体反应扩散模型237

9.4.2模型的外部解238

9.4.3初始层校正项239

9.4.4渐近解的一致有效性240

9.4.5举例241

参考文献242

索引244

《奇异摄动丛书》书目246