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目录1

1 一元函数 极限 连续1

1.1 一元函数1

1.1.1 一元函数的概念1

1.1.2 函数的一些性态2

1.1.3 初等函数与非初等函数3

1.1.4 由实际问题产生的一元函数8

1.2 极限11

1.2.1 数列的极限12

1.2.2 函数f（x）当x→∞时的极限14

1.2.3 函数f（x）当x→x0时的极限15

1.3 极限的性质和运算法则18

1.3.1 无穷小和无穷大18

1.3.2 极限的性质与极限的运算法则20

1.3.3 极限的存在准则两个重要极限25

1.4 无穷小的比较30

1.5 函数的连续性32

1.5.1 函数连续性的概念32

1.5.2 连续函数的运算35

1.6 闭区间上连续函数的性质38

2.1.1 导数概念的引出41

2.1 导数的概念41

2 一元函数微分学41

2.1.2 导数的定义42

2.1.3 可导与连续的关系43

2.2 求导法则45

2.2.1 函数的和、差、积、商的求导法则45

2.2.2 反函数的导数48

2.2.3 复合函数的导数50

2.2.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数52

2.2.5 高阶导数55

2.3.1 微分的定义61

2.3 函数的微分61

2.3.2 微分的公式与运算法则62

2.3.3 微分在近似计算中的应用64

2.4 微分中值定理及导数的应用66

2.4.1 微分中值定理66

2.4.2 泰勒公式68

2.4.3 洛必达法则70

2.4.4 函数的单调性和极值74

2.4.5 函数的最大值和最小值79

2.4.6 曲线的凹凸性与拐点81

2.4.7 函数图形的描绘83

2.4.8 曲率87

2.4.9 一元函数微分学在经济中的应用90

3 一元函数积分学98

3.1 不定积分的概念与性质98

3.1.1 原函数与不定积分的概念98

3.1.2 不定积分的性质100

3.1.3 基本积分公式101

3.2 换元积分法104

3.2.1 第一类换元积分法104

3.2.2 第二类换元积分法110

3.3 分部积分法116

3.4 定积分的概念与性质121

3.4.1 定积分的引例121

3.4.2 定积分的定义122

3.4.3 定积分的性质123

3.5 微积分的基本定理126

3.5.1 变上限定积分及其导数126

3.5.2 牛顿—莱布尼兹公式128

3.6 定积分的换元积分法与分部积分法131

3.6.1 定积分的换元积分法131

3.6.2 定积分的分部积分法133

3.7.1 无穷区间上的广义积分135

3.7 广义积分135

3.7.2 无界函数的广义积分138

3.8 定积分的应用139

3.8.1 平面图形的面积140

3.8.2 体积、平面曲线的弧长143

3.8.3 定积分在物理中的应用举例147

3.8.4 定积分在经济中的应用举例148

4 微分方程152

4.1 微分方程的基本概念152

4.2 一阶微分方程154

4.2.1 可分离变量方程154

4.2.2 一阶线性微分方程156

4.2.3 可降阶的二阶微分方程158

4.3 常系数线性微分方程160

4.3.1 线性微分方程解的结构160

4.3.2 二阶常系数线性齐次微分方程162

4.3.3 二阶常系数线性非齐次方程163

4.3.4 常系数线性差分方程166

4.4 微分方程在数学建模中的应用170

4.4.1 几何应用170

4.4.2 物理应用171

4.4.3 其他应用174

5.1.2 向量及其坐标表示177

5.1.1 空间直角坐标系177

5 向量代数 空间解析几何177

5.1 空间直角坐标系及向量177

5.1.3 两向量的数量积182

5.1.4 两向量的向量积184

5.2 平面及其方程189

5.2.1 平面的点法式方程189

5.2.2 平面的一般方程190

5.3 空间直线及其方程193

5.3.1 空间直线的点向式方程193

5.3.2 空间直线的一般方程194

5.4.1 二次曲面198

5.4 空间曲面与曲线简介198

5.4.2 空间曲线202

6 多元函数微分学206

6.1 多元函数的概念二元函数的极限和连续性206

6.1.1 多元函数的概念206

6.1.2 二元函数的极限209

6.1.3 二元函数的连续性210

6.2 偏导数212

6.2.1 二元函数偏导数的定义及其计算212

6.2.2 高阶偏导数216

6.3.1 全微分的定义220

6.3 全微分及其在近似计算中的应用220

6.3.2 全微分在近似计算中的应用222

6.4 多元复合函数与隐函数的求导法224

6.4.1 多元复合函数的求导法224

6.4.2 隐函数的求导法231

6.5 偏导数的应用236

6.5.1 偏导数的几何应用236

6.5.2 多元函数的极值240

7.1 二重积分的概念与性质247

7.1.1 二重积分的概念247

7 多元函数积分学247

7.1.2 二重积分的性质249

7.2 二重积分的计算法251

7.2.1 直角坐标系下二重积分的计算法251

7.2.2 极坐标系下二重积分的计算法259

7.3 二重积分的应用267

7.3.1 曲面的面积267

7.3.2 平面薄片的重心271

7.4 对弧长的曲线积分273

7.4.1 对弧长的曲线积分的概念与性质273

7.4.2 对弧长的曲线积分的计算方法274

7.5.1 对坐标的曲线积分的概念与性质278

7.5 对坐标的曲线积分278

7.5.2 对坐标的曲线积分的计算方法280

7.6 格林公式平面曲线积分与路径无关的条件284

7.6.1 格林公式285

7.6.2 平面曲线积分与路径无关的条件289

8 无穷级数296

8.1 无穷数项级数的概念与性质296

8.1.1 基本概念296

8.1.2 无穷级数的基本性质298

8.2 正项级数及其审敛法300

8.3.1 交错级数305

8.3 任意项级数305

8.3.2 绝对收敛与条件收敛306

8.4 幂级数308

8.4.1 函数项级数的一般概念308

8.4.2 幂级数及其收敛性309

8.4.3 幂级数的运算313

8.5 把函数展开为泰勒级数315

8.5.1 泰勒级数和麦克劳林级数315

8.5.2 把函数展开为泰勒级数（麦克劳林级数）317

8.6.1 三角级数及三角函数系的正交性321

8.6 三角级数321

8.6.2 把周期为2π的函数展开为傅里叶级数322

8.6.3 奇函数与偶函数的傅里叶级数324

8.6.4 把周期为T的函数展开为傅里叶级数327

9 数学实验331

9.1 数学软件Mathematica简介331

9.1.1 Mathematica的基本菜单332

9.1.2 Mathematica的基本命令332

9.2 数学实验335

实验一 用数学软件绘制基本初等函数图形，求方程的近似根335

实验二 用数学软件求导数、微分和极限，绘制一元函数图形，用泰勒公式逼近函数339

实验三 用数学软件求不定积分、定积分、广义积分及积分的近似值343

实验四 用数学软件求解常微分方程的通解和特解346

实验五 用数学软件进行向量运算，绘制空间曲面与曲线的图形350

实验六 用数学软件求偏导数和全微分，最小二乘法354

实验七 用数学软件求二重积分357

实验八 用数学软件求级数之和，把函数展开为幂级数，用傅里叶级数部分和逼近周期函数361

附录368

附录一 极坐标系简介368

附录二 复数简介373

习题答案378