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第一章　矩阵理论1

1.1　线性变换及其矩阵表示1

1.1.1　线性空间上的线性变换1

1.1.2　线性变换的矩阵表示3

1.1.3　特征值与特征向量5

1.1.4　相似矩阵8

1.2　方阵在相似变换下的标准形10

1.2.1　方阵的行列式因子、不变因子、初等因子10

1.2.2　方阵相似的条件15

1.2.3　方阵在相似变换下的若当标准形15

1.2.4　方阵在相似变换下的有理标准形20

1.3　方阵特征值的估计25

1.3.1　特征值的估计25

1.3.2　谱半径的估计30

1.3.3　主特征值及主特征向量的迭代算法31

1.4　矩阵分析34

1.4.1　矩阵序列34

1.4.2　方阵幂级数35

1.4.3　方阵函数39

1.5　应用举例一：线性动态系统47

1.5.1　线性动态系统及其状态空间表达式47

1.5.2　线性定常系统的解48

1.5.3　系统的能控性与能观性49

1.5.4　经济控制论模型51

1.6　应用举例二：层次分析法53

1.6.1　问题的提出53

1.6.2　基本原理54

1.6.3　基本步骤55

1.7.1　多元总体和样本66

1.7　应用举例三：多元统计分析66

1.7.2　主成分分析69

1.7.3　聚类分析74

1.7.4　判别分析78

1.7.5　在教育管理中的应用举例80

习题182

第二章　泛函分析89

2.1　距离空间与巴拿赫不动点定理89

2.1.1　距离空间89

2.1.2　距离空间中的点集92

2.1.3　收敛、柯西列、完备性93

2.1.4　连续映射96

2.1.5　压缩映射与巴拿赫不动点定理97

2.2.1　线性赋范空间99

2.2　线性赋范空间与有界线性泛函99

2.2.2　有界线性算子103

2.2.3　有界线性泛函与对偶空间107

2.3　泛函的极值109

2.3.1　泛函的变分109

2.3.2　泛函的极值111

2.4　应用举例：最优控制113

2.4.1　最优控制问题的一般提法113

2.4.2　求解最优控制问题的变分法与最小值原理114

习题2118

第三章　凸分析121

3.1　凸集与凸集分离定理121

3.1.1　凸集121

3.1.2　凸集分离定理122

3.1.3　Farkas引理125

3.2.1凸函数与凹函数126

3.2　凸函数与次微分126

3.2.2　凸函数的次微分131

3.3　凸函数的极值与凸规划137

3.3.1　凸函数的极值137

3.3.2　凸规划138

3.3.3　共轭函数与对偶凸规划141

3.4　凸集上的不动点定理144

3.4.1　Brouwer不动点定理145

3.4.2　Kakutani不动点定理145

3.5　应用举例：数理经济147

3.5.1　厂商的生产利润优化147

3.5.2　经济的均衡148

习题3154

4.1　模糊集155

4.1.1　模糊现象与模糊集155

第四章　模糊数学155

4.1.2　模糊集的隶属函数156

4.1.3　模糊集的运算164

4.1.4　分解定理与扩张原理168

4.1.5　凸模糊集与模糊数170

4.2　模糊关系173

4.2.1　模糊关系与模糊矩阵173

4.2.2　模糊关系的运算与合成176

4.2.3　模糊等价关系与传递闭包178

4.3　模糊灰集与灰关系180

4.3.1　模糊灰集180

4.3.2　灰关系181

4.4　应用举例一：模糊多元分析181

4.4.1　模糊聚类分析181

4.4.2　模糊数量化方法Ⅰ186

4.5.1　模糊综合评价187

4.5　应用举例二：模糊评价与优化187

4.5.2　模糊线性规划194

习题4199

第五章　随机过程202

5.1　随机过程的一般概念202

5.1.1　随机过程的直观背景与定义202

5.1.2　有限维分布函数族与条件数学期望204

5.1.3　重要的几种随机过程209

5.2　马尔可夫过程217

5.2.1　马尔可夫过程的定义217

5.2.2　马尔可夫链224

5.2.3　可数状态的马尔可夫过程244

5.3　应用举例：排队系统分析253

习题5255

习题解答257

1．行列式278

附录　预备知识278

一、线性代数中的若干基本知识278

2．矩阵279

3．线性方程组281

二、微积分中的若干基本知识283

1．极限与连续283

2．导数与微分285

3．积分287

4．级数287

三、概率论中的若干基本知识288

1．概率空间288

2．随机变量及其分布函数288

3．随机变量序列的收敛性290

参考文献292